فعالیت صفحه ۲۲ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
اگر $\text{f}: \text{A} \to \text{B}$ باشد، با توجه به نمایش‌های خوانده شده در سال قبل برای بیان یک رابطه:
$$\text{A} = \left\{ -1, \frac{1}{2}, 2 \right\} \quad \text{و} \quad \text{f}(\text{x}) = 2\text{x}^2 + 1$$
الف. در نمایش پیکانی با توجه به ضابطه $\text{f}$ و مجموعه $\text{A}$، داریم:
تصویر نمودار پیکانی که $\text{A}$ به $\text{B}$ وصل شده و جای خالی دارد.
بنابراین برد $\text{f}$ مجموعه $\text{B} = \left\{ \dots, \dots, \dots \right\}$ است. نمایش پیکانی رابطه فوق بیانگر یک تابع است؛ زیرا از هر عضو مجموعه $\text{A}$، دقیقاً $\dots$ خارج شده است.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۲۲ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این فعالیت برای مرور مفهوم **تابع** از طریق **ضابطه**، **نمایش پیکانی** و تعریف **دامنه و برد** است. تعریف اصلی تابع این است که هر عضو از **دامنه** (مجموعه $\text{A}$) **دقیقاً** به یک عضو از **هم‌دامنه** (مجموعه $\text{B}$) مرتبط شود.
**داده‌های مسئله:**
* **دامنه (A):** $\text{A} = \left\{ -1, \frac{1}{2}, 2 \right\}$
* **ضابطه تابع (f):** $\text{f}(\text{x}) = 2\text{x}^2 + 1$
### الف. تکمیل نمایش پیکانی و مجموعه برد
باید برای هر عضو از $\text{A}$، مقدار متناظر آن را در $\text{B}$ با استفاده از ضابطه $\text{f}(\text{x}) = 2\text{x}^2 + 1$ حساب کنیم. این مقادیر، مجموعه **برد** ($\\text{R}_\text{f}$) را تشکیل می‌دهند.
1. **محاسبه $\text{f}(-1)$:**
$$\text{f}(-1) = 2(-1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$$
2. **محاسبه $\text{f}\left(\frac{1}{2}\right)$:**
$$\text{f}\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$
3. **محاسبه $\text{f}(2)$:**
$$\text{f}(2) = 2(2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$$
**تکمیل جای خالی:**
بنابراین، **برد $\text{f}$** مجموعه‌ای از مقادیر محاسبه شده است: $\text{R}_\text{f} = \left\{ 3, \frac{3}{2}, 9 \right\}$.
**نکته:** در صورت سؤال مجموعه $\text{B}$ به عنوان هم‌دامنه معرفی شده است، اگرچه در این تمرین برد و هم‌دامنه یکسان هستند.
بنابراین برد $\text{f}$ مجموعه $\text{B} = \left\{ \mathbf{3}, \mathbf{\frac{3}{2}}, \mathbf{9} \right\}$ است. نمایش پیکانی رابطه فوق بیانگر یک تابع است؛ زیرا از هر عضو مجموعه $\text{A}$، دقیقاً **یک پیکان** خارج شده است.
---
### ب. نمایش زوج مرتبی و دامنه و برد
**نمایش زوج مرتبی $\text{f}$:**
$$\text{f} = \left\{ \left( -1, 3 \right), \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right), (2, 9) \right\}$$
**تکمیل جای خالی (طبق تصویر داده شده):**
$$\text{f} = \left\{ \left( \mathbf{-1}, \frac{3}{2} \right), (\mathbf{\frac{1}{2}}, 1), (\mathbf{2}, 9) \right\}$$ (توجه: در تصویر اصلی، نمایش زوج مرتبی دارای خطا است و مقادیر درهم شده‌اند. ما بر اساس محاسبات صحیح، پاسخ را کامل می‌کنیم.)
**نمایش زوج مرتبی صحیح:**
$$\text{f} = \left\{ \left( -1, 3 \right), \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right), (2, 9) \right\}$$
* **دامنه ($\\text{D}_\text{f}$):** مؤلفه‌های اول زوج مرتب‌ها، که برابر با مجموعه $\text{A}$ است.
$$\text{D}_\text{f} = \left\{ \mathbf{-1}, \mathbf{\frac{1}{2}}, \mathbf{2} \right\}$$
* **برد ($\\text{R}_\text{f}$):** مؤلفه‌های دوم زوج مرتب‌ها.
$$\text{R}_\text{f} = \left\{ \mathbf{3}, \mathbf{\frac{3}{2}}, \mathbf{9} \right\}$$
---
### ج. نمایش مختصاتی (نمودار)
**نقاط برای رسم نمودار:**
$$\left( -1, 3 \right), \quad \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right), \quad (2, 9)$$
همان‌طور که در نمودار نیز مشخص است:
* **دامنه تابع ($\\text{D}_\text{f}$):** تصاویر این نقاط بر روی محور $\text{x}$ها.
$$\text{D}_\text{f} = \left\{ \mathbf{-1}, \mathbf{\frac{1}{2}}, \mathbf{2} \right\}$$
* **برد تابع ($\\text{R}_\text{f}$):** تصاویر این نقاط بر روی محور $\text{y}$ها.
$$\text{R}_\text{f} = \left\{ \mathbf{3}, \mathbf{\frac{3}{2}}, \mathbf{9} \right\}$$
